伽利略的最后弟子:气压计发明者托里切利鲜为人知的数学贡献


Toricelli出生于一个中等收入家庭,最有可能位于意大利北部的法恩扎。当他16岁或17岁时,年轻的托里切利搬到了罗马,开始沉迷于数学。

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托里切利

正如他在1632年给伽利略的信中提到的,他没有接受过正规的数学教育,而是“在耶稣会牧师的指导下自学”。指导他的人是本笃会修士Benedetto Castelli(1578-1643),他对年轻人的职业选择产生了很大的影响。 Castelli很乐意指导其他人,并有兴趣培养有前途的年轻数学家。现在,作为罗马大学的教授,他招募Toricelli为陛下并教他伽利略和博纳文图拉卡瓦列里(1598-1647,伽利略的弟子)的作品。

1632年9月,毫无疑问,在卡斯泰利的鼓励下,托里切利写了一封写给伽利略的信,他在信中描述自己是一名专业数学家,尽管还很年轻。我和牧师Kastelli一起学习了数学6年。

当时,《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》(两个世界主要系统对话,以下简称《对话》),这是伽利略关于哥白尼系统的一本非常受欢迎的书,最终导致伽利略被宗教裁判所审判并定罪。几个月后,将在接下来的几年中引发伽利略审判和软禁的一系列事件正在进行中。托里切利首先向老主人保证,卡斯泰利将利用一切机会捍卫《对话》以避免“鲁莽的决定”。然后,他开始介绍自己作为地质学家和天文学家,以及作为伽利略的忠实追随者的学习经历。他写道:

在罗马,我是第一个研究你工作的人.我很荣幸。您可以想象一个人在看到您的作品后经历过多次几何尝试的快乐。我研究了阿波罗尼乌斯,阿基米德,狄奥多西的几何学,并研究了托勒密的学说,阅读了第戎,开普勒和朗格蒙特。几乎所有Longomontanus的作品,我终于相信了哥白尼主义.并公开承认我属于伽利略学校。

不幸的是,对于Toricelli来说,《对话》和他的作者在不到一年之后就受到了审判,结果发现在罗马成为狂热的伽利略信徒是相当危险的。

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伽利略

这也可以解释为什么我们在未来10年内没有听到有关托里切利的任何消息。他仍然留在罗马并私下从事数学研究。他研究了1638年出版的伽利略《论两种新科学及其数学演化》(关于两种新科学的话语和数学演示,以下简称《论述》)并且一直表现低调。

1641年3月,当Castelli被允许访问Alcetri并写信给Galileo宣布这个好消息时,他再次被提及。 (1632年至1633年间,伽利略被指控为异端邪说,被宗教裁判所审判并被判处软禁。此后他住在佛罗伦萨郊外的阿尔塞特里的一栋别墅里。)卡斯泰利说,里切利是他10年前的学生并承诺给他带来一个年轻人写的手稿。他恭维老人:

“你会看到一个非常有道德的年轻人将如何继承你为人类文明奠定的道路。他将告诉我们你在体育研究中种下的种子将如何产生丰硕的成果。你也会看到他带给你学校的荣誉。 “

此时,伽利略已被软禁八年。这个孤独的老人很可能会被手稿的广阔前景和丰硕成果所感动。这是Toricelli对他的出色工作的最大影响。 Castelli递给他的手稿给他留下了深刻的印象,他要求见到这位年轻的数学家。卡斯泰利担心伽利略身体虚弱,近乎失明状态,并担心他很快就会出生。

他们一起准备了一个计划,将Toricelli带到Alchetri担任Galileo的秘书,帮助他编辑和出版他的最新作品。在4月初收到邀请后,托里切利回信说,他的突然特权让他感到受宠若惊。然而,他似乎并不急于离开繁华的罗马,并转向备受尊敬的大师的寂寞。他多次辞职,但最终于1641年秋天离开。他收拾好行李,搬进了Alchetri的Galileo别墅。在那里,他编辑了书中的“第五天”《论述》并准备将其添加到1638年发表的为期四天的对话中。

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在托里切利抵达三个月后,他的任务突然结束。 1642年初,伽利略因心悸和发烧而病倒。 1642年1月8日,一代大师在77岁时去世。作为一名被判“怀有强烈异端邪说”的人,他被埋葬在佛罗伦萨圣十字教堂一侧的一个小房间里,一个世纪后被移到中央大厅的荣誉地位。与此同时,托里切利收拾东西,准备返回罗马。在这一刻,他收到了令人惊讶的任命通知:他可以继续留在佛罗伦萨作为伽利略的继任者,作为托斯卡纳大公的数学家和比萨大学的数学教授。

这项任命还为托里切利提供了千载难逢的机会:稳定的任期和慷慨的薪水使他能够不受干扰地进行自己的研究,并成为欧洲最伟大的科学家的继承人。获得公众认可。他毫不犹豫地接受了这项任命。

在接下来的六年里,托里切利取得了巨大的成就。以前Toricelli鲜为人知,所以Galileo几乎没有听说过他,而且Castelli不得不将他作为前学生转介给Galileo。但随着伽利略的去世和他被任命为梅迪奇的宫廷数学家,他成为欧洲领先的科学家之一。他与法国科学家和数学家保持着长期而富有成效的沟通,包括Marin Mersenne(1588-1648)和Gilles de Roberval(1602-1675);意大利同事Galileans Raffaello Magiotti(1597-1656),Antonio Nardi和Cavalieri保持联系。

在书《论述》的启发下,他仔细考虑了伽利略的论点,即大自然的“恶心的真空”特征将物体组合在一起。这促使他在1643年进行实验,以确认自然界确实存在真空,并最终成为世界上第一个晴雨表。

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与伽利略和卡瓦列里经常出版的作品不同,托里切利的大部分结果都反映在他的信件和未发表的手稿中,这些手稿只在他的朋友和同事之间传播。唯一的例外是一本名为《几何运算》(Opera Geometrica)的书,出版于1644年,由一系列论文组成,从物理学的运动到抛物线所包围的区域。其中一些论文依赖于传统的数学方法,并衍生自古代命题,如托里切利对球体的讨论。然而,第三篇题为“De Dimensione parabolae”的论文远非传统方法:它以重要的Torricelli形式引入了他自己的非组件方法。

抛物线包围的面积等于三角形面积的四分之三,高度相同(见下图),同样的结果以不同的方式成功证明了21次。这可能是数学史上唯一提供许多不同证明过程的论文,只是为了证明一个结果。

这证明了Toricelli作为数学家的技能,但其目的不是。其真正目的是将传统的经典证明方法与基于非组件的新证明方法进行比较,以说明新方法的明显优势。

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“抛物线区域”的前11个证明完全符合欧几里德几何的最严格标准,最后10个证明放弃了传统的穷举法模型,取而代之的是非组分法。正如托里切利所说,由于卡瓦列里,这种无法控制的方法是一项“伟大的发明”。

事实上,Cavalieri和Toricelli的无穷小法之间存在着重要的区别。最重要的是,在托里切利的方法中,所有不可分割的线条组合在一起形成一个平面图形,所有不可分割的表面实际上构成了实体的体积。在他的证明中,他直接将“所有线条”指向“区域本身”,并将“所有面孔”指向“体积本身”。他并没有受到逻辑细节的困扰,这些细节让他感到非常纠结。托里切利的直率使他的方法比卡瓦列里更直观和清晰。

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他们对舆论的态度也大不相同。更传统的卡瓦列里试图不惜一切代价避免舆论。当他在他的方法中遇到潜在的悖论时,他会迂回地解释为什么他们实际上不是悖论。但托里切利沉迷于舆论。他的论文包括至少三个单独的悖论列表,详细说明了各种微妙的悖论,即连续词由非组成部分组成的假设。对于数学家来说,方法的可信度是基于这个前提,而不是避免涉及论证前提的悖论,他列举了大量的悖论,这似乎有些出乎意料。对于托里切利来说,这些悖论还有其他用途。它们不仅仅是令人费解的逍遥时光,当人们从事严肃的数学研究时,它们被放在一边;相反,它们是揭示连续体的实质和结构的研究工具。

在某种程度上,舆论实际上是Toricelli的数学实验。在一项实验中,人们创造了一种不自然的环境,将自然现象推向极端状态,揭示隐藏在正常环境中的真相。对于Toricelli来说,公众舆论扮演了类似的角色:他们将逻辑推广到极端状态,这揭示了连续统的本质,这是普通数学方法无法实现的。

尽管有明显的逻辑风险,但托里切利的方法还是给当代数学家留下了深刻的印象。虽然不断游走于错误的边缘,但它也非常灵活,并且相当有效。在熟练和富有想象力的数学家手里,它成了一个有力的工具,可能导致新的,甚至惊人的结果。在17世纪40年代,这种方法被迅速传播到了法国,并很快席卷了整个欧洲大陆 承载着新的无穷小量数学的威力和未来。

-文:(美)阿米尔亚历山大(Amir Alexander)著,凌波/译,《无穷小:一个危险的数学理论如何塑造了现代世界》

-图片来自网络,侵删

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